HIST.CAL.CONT.3

Cálculo lógico

El cálculo lógico es un sistema de reglas de inferencia o deducir un enunciado a partir de otro u otros. El cálculo lógico requiere un conjunto consistente de axiomas y unas reglas de inferencia y su propósito es poder deducir algorítmicamente proposiciones lógicas verdaderas a partir de axiomas válidos. La inferencia es una operación lógica que consiste en obtener una proposición lógica como conclusión a partir de otro(s) (premisas) mediante la aplicación de reglas de inferencia.

Los hombres en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo. Partimos de enunciados empíricos -supuestamente verdaderos y válidos- para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos, según las leyes de la lógica natural.

La lógica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar dichas leyes, fundamentarlas y convertirlas en las reglas que permiten la transformación de unos enunciados -premisas- en otros - conclusiones- con objeto de convertir las operaciones en un algoritmo riguroso y eficaz, que garantiza que dada la verdad de las premisas, la conclusión es necesariamente verdadera.

Al aplicar las reglas de este cálculo lógico a los enunciados que forman un argumento mediante la simbolización adecuada de fórmulas o expresiones bien formadas (EBF) construimos un modelo o sistema deductivo. En ese contexto, las reglas de formación de fórmulas definen una sintaxis de un lenguaje formal de símbolos no interpretados, es decir, sin significado alguno, en el que se establecen mediante reglas estrictas, las relaciones sintácticas entre los símbolos para la construcción de fórmulas bien formadas (fbf), así como las reglas que permiten transformar dichas expresiones en otras equivalentes; entendiendo por equivalentes que ambas tienen siempre y de forma necesaria el mismo valor de verdad. Dichas transformaciones son meramente tautologías. Un lenguaje formal que sierva de base para el cálculo lógico está formado por varias clases de entidades:

1. Un conjunto de elementos primitivos. Dichos elementos pueden establecerse por enumeración, o definidos por una propiedad tal que permita discernir sin duda alguna cuándo un elemento pertenece o no pertenece al sistema.
2. Un conjunto de reglas de formación de “expresiones bien formadas”(EBFs) que permitan en todo momento establecer, sin forma de duda, cuándo una expresión pertenece al sistema y cuándo no.
3. Un conjunto de reglas de transformación de expresiones, mediante las cuales partiendo de una expresión bien formada del cálculo podremos obtener una nueva expresión equivalente y bien formada que pertenece al cálculo.

Cuando en un cálculo así definido se establecen algunas expresiones determinadas como verdades primitivas o axiomas, decimos que es un sistema formal axiomático. Un cálculo así definido si cumple al mismo tiempo estas tres condiciones decimos que es un Cálculo Perfecto:

1. Es consistente: No es posible que dada una expresión bien formada del sistema, , y su negación, , sean ambas teoremas del sistema. No puede haber contradicción entre las expresiones del sistema.
2. Decidible: Dada cualquier expresión bien formada del sistema podemos encontrar un método que nos permita decidir mediante una serie finita de operaciones si dicha expresión es o no es un teorema del sistema.
3. Completo: Cuando dada cualquier expresión bien formada del sistema, podemos establecer la demostración matemática o prueba de que es un teorema del sistema.

Sistematización de un cálculo de deducción natural

Reglas de formación de fórmula

I. Una letra enunciativa (con o sin subíndice) es una EBF.
II. Si A es una EBF, ¬ A también lo es.
III. Si A es una EBF y B también, entonces A B; A B; A B; A B, también lo son.
IV. Ninguna expresión es una fórmula del Cálculo sino en virtud de I,II,III.

El lenguaje natural como modelo de un cálculo lógico

Naturalmente el cálculo lógico es útil porque puede tener aplicaciones, pero ¿en qué consisten o cómo se hacen tales aplicaciones?
Podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de C si podemos someterlo, es decir, aplicarle una correspondencia en C.
Para ello es necesario someter al lenguaje natural a un proceso de formalización de tal forma que podamos reducir las expresiones lingüísticas del lenguaje natural a EBFs de un cálculo mediante reglas estrictas manteniendo el sentido de verdad lógica de dichas expresiones del lenguaje natural. Esto es lo que se expone en cálculo lógico.
Las diversas formas en que tratemos las expresiones lingüísticas formalizadas como proposiciones lógicas dan lugar a sistemas diversos de formalización y cálculo:

• Cálculo proposicional o cálculo de enunciados

Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como una proposición atómica, como un todo sin analizar.

• Cálculo como lógica de clases

Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del análisis de la oración como una relación de individuos o posibles individuos que poseen o no poseen una propiedad común determinada como pertenecientes o no pertenecientes a una clase natural o a un conjunto como individuos.

• Cálculo de predicados o cuantificacional

Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del análisis de la misma de forma que una posible función predicativa (P), se predica de unos posibles sujetos variables (x) [tomados en toda su posible extensión: (Todos los x); o referente a algunos indeterminados: (algunos x)], o de una constante individual existente (a).

• Cálculo como lógica de relaciones

Cuando se toma la oración simple significativa con posible valor de verdad propio, verdado o falso, como resultado del análisis de la oración como una relación "R" que se establece entre un sujeto y un predicado.